Conjuntos

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Por Emanuel Jaconiano e Ricardo Camelier

Professores de Matemática do Colégio Qi

 
 

INTRODUÇÃO

A Teoria dos Conjuntos, um dos temas de matemática que aparecem no Enem, foi formulada no fim do século XIX pelo matemático russo Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor. Conjuntos não podem ser definidos, mas entende-se por conjunto toda lista de objetos, símbolos que seja bem definida.

Conceitos primitivos:

- Conjunto;
- Elemento;
- Pertinência.

Ao pensarmos em uma coleção de objetos, podemos associar a conjunto. Esses objetos da coleção são o que chamamos de elementos do conjunto. Se um elemento está presente em um conjunto, dizemos que o elemento pertence (∈∈) ao conjunto. Caso contrário, dizemos que ele não pertence.

SÍMBOLOS

A linguagem escrita pode ser simplificada com os símbolos descritos nos exemplos a seguir:

- O elemento 1(um) pertence ao conjunto A: 3∈A3∈A
- O elemento 3 não pertence ao conjunto A: 3∉A3∉A
- Existe algum: ∃∃
- Qualquer que seja: ∀∀
- Tal que: |

Conjuntos importantes:
- Conjunto vazio: não possui nenhum elemento. É representado por ∅∅ ou {  }.
- Conjunto unitário: possui um único elemento.

REPRESENTAÇÕES

Um conjunto pode ser representado da seguinte maneira:

Enumerando seus elementos entre chaves, separados por vírgulas;
Exemplos:
A = {–1, 0, 1}
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

Indicando, entre chaves, uma propriedade que caracterize cada um de seus elementos;Exemplos:
A=x∈Z |−2<x<2A=x∈Z |−2<x<2
N=x∈Zx≥0N=x∈Zx≥0

Por meio de uma figura fechada, dentro da qual podem-se escrever seus elementos. “Diagrama de Venn-Euler”.

A   NN

Conjuntos Iguais
Os conjuntos A e B são iguais quando possuem os mesmos elementos. Representa-se A = B.

Subconjuntos
O conjunto A é subconjunto de B se todo elemento de A é elemento de B. Representa-se A⊂BA⊂B(A está contido em B).

Propriedades:
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, tem-se:

- A ⊂⊂ A
- ∅⊂∅⊂ A
- (A⊂B e B⊂A)⇔A=B(A⊂B e B⊂A)⇔A=B
- (A⊂B e B⊂C)=>A⊂C(A⊂B e B⊂C)=>A⊂C

Conjunto das partes
É o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de A. É representado por P(A).

Propriedade: se o conjunto A possui n elementos, então P(A) possui 2n2n elementos, ou seja, o conjunto A possui 2n2n subconjuntos.

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

União

Intuitivamente, unir dois ou mais conjuntos significa agrupá-los com intuito de torná-los um s

Definição:
Dados dois conjuntos A e B, representa-se e define-se o conjunto união de A e B por:
A∪B=A∪B= {xx∈A ou x∈Bxx∈A ou x∈B}

- A∪∅A∪∅ = A (elemento neutro);
- A∪AA∪A = A (recíproca)
- A∪B=B∪AA∪B=B∪A (comutativa)
- A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C(associativa)

Exemplos:

Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, vamos obter:
a) A ∪ B.
b) A ∪ B ∪ C.

Solução:
a) A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}
b) A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Interseção

Intuitivamente, um elemento faz parte da interseção de dois ou mais conjuntos, se ele pertence a todos esses conjuntos ao mesmo tempo.

Definição:                                                                                                                                            Dados dois conjuntos A e B, representa-se e define-se o conjunto interseção de A e B por:
A ∩ B = {x  x ∈ A e x ∈ B}

Para três conjuntos arbitrários A, B e C, valem as seguintes propriedades:
- A ∩ ∅ = ∅
- A ∩ A = A (recíproca)
- A ∩ B = B ∩ A (comutativa)
- A ∩ (B ∩ C)  =  (A ∩ B) ∩ C (associativa)

Exemplos:
Dados os conjuntos A = {0, 1, 5}, B = {0, 2, 5, 7}, C = {4, 6, 7, 9} e D = {0, 1, 6}, vamos obter:
a) A ∩ B.
b) A ∩ C.
c) A ∩ B ∩ D.

Solução:

a) A ∩ B = {0, 5}
b) A ∩ C = Ø
c) A ∩ B ∩ D = {0}

Diferença entre conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, define-se o conjunto diferença A - B por:
A – B = {x  x ∈ A e x ∉ B}

Para a diferença entre conjuntos, valem as seguintes propriedades:
- A – ∅ = A
- ∅ – A = ∅
- A – A = ∅

Exemplo 1:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}, obtenha:
a) A – B.
b) B – A.

Solução:
a) A – B = {1, 2, 3, 4, 5} – {2, 4, 6} = {1, 3, 5}
b) B – A = {2, 4, 6} – {1, 2, 3, 4, 5} = {6}

Exemplo 2:
Se A = {x natural, menor que 10 / x é par} e B = {x natural, menor que 10 / x é primo}. Determine A – B e B – A.

Respostas:
a) A – B = {0, 4, 6, 8}
b) B – A = {3, 5, 7}

Complementar de um conjunto
Dados dois conjuntos A e V tais que A ⊂ V, representa-se o complementar de A em relação a V porC_V_VA, A¯¯¯A¯¯¯ ou A'. Por definição, C_V_VA = V – A.

São válidas as seguintes propriedades:

- CV=(A∪B)=CVA∩CVBCV=(A∪B)=CVA∩CVB
- CV(A∪B)=CVA∩CVBCV(A∪B)=CVA∩CVB

Exemplo:

Dados os conjuntos X = {1, 2, 4}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}, X ⊂ Y. Obter C_Y_YX.
C_Y_YX = Y – X = {1, 2, 3, 4, 5} – {1, 2, 4} = {3, 5}

Princípio da inclusão e exclusão (para dois conjuntos)

Princípio que serve para calcular o número de elemento da união de dois conjuntos A e B, em função do número de elementos de A, de B e de A interseção B.

n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)

Onde:
n(A) = número de elementos do conjunto A;
n(B) = número de elementos do conjunto B;
n(A ∩ B) = número de elementos da interseção;
n(A ∪ B) = número de elementos da união.

Exemplo:
Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, temos:
- A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
- A ∩ B = {4, 5, 6, 7}

Podemos comprovar pelo princípio da inclusão e exclusão que:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
9 = 7 + 6 – 4 (verdadeiro)

EXERCÍCIOS

1. Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: “Quem é torcedor do Flamengo?” 36 levantaram o braço. A seguir, perguntou: “Quem é nascido na cidade do Rio de Janeiro?” 28 levantaram o braço. Sabendo que nenhum aluno deixou de levantar o braço, vamos determinar quantos alunos são flamenguistas e cariocas.

Solução 

Flamenguistas: F
Cariocas: C
n(F U C) = 42 (total de alunos)
n(F) = 36; n(C) = 28; n(F  C) = x

Pelo PIE, temos:
42 = 36 + 28 – x
42 = 64 – x; assim, x = 22
Logo; n(F  C) = x = 22

2. (UFF) Os conjuntos não-vazios M, N e P estão, isoladamente, representados abaixo. Considere a seguinte figura que estes conjuntos formam.

A região hachurada pode ser representada por:

a) M ∪ (N ∩ P)
b) M – (N ∪ P)
c) M ∪ (N – P)
d) N – (M ∪ P)
e) N ∪ (P ∩ M)

SoluçãoOpção (B). Os elementos da região hachurada pertencem a M e não pertencem a N∪PN∪P.